??? 204數(shù)學物理方法
? 一、 考試內(nèi)容
第一部分 矢量分析與場論、變分法、積分方程

1、 矢量分析與場論 （20%）
（1） 理解矢量函數(shù)與矢端曲線的定義及矢量函數(shù)極限和連續(xù)性的概念。
（2） 會求矢量函數(shù)的導數(shù)、微分、不定積分與定積分。
（3） 理解數(shù)量場（標量場）的等值面及方向導數(shù)與梯度的概念，熟悉有關運算公式。
（4） 理解矢量場的矢量線、矢量場的通量與散度、矢量場的環(huán)量與旋度的概念，熟悉有關運算公式。
（5） 熟練掌握梯度、散度、旋度、以及拉普拉斯方程的哈密頓算子（ ）表示法，熟悉梯度、散度和旋度的運算法則。
（6） 知道有勢場、管形場和調和場的概念和性質。
（7） 會求解含有哈密頓算子（ ）的一些基本類型的場方程。

2、變分法 積分方程 （12%）
（1） 了解形如 及 的泛函在某條曲線 上取極值的含義及其必要條件，熟悉由該條件導出的歐拉（Euler）方程，并會求解由歐拉方程導出的常微分方程的初、邊值問題（要求熟悉一階和二階線性常微分方程的解法）。
（2） 了解形如 或 的泛函取極值的必要條件及由此導出的歐拉方程的形式，并由這些歐拉方程推導出一些物理中常見的偏微分方程。
（3） 會用迭代法求解弗雷德霍姆（Fredholm）方程： 和伏特拉（Volterra）方程： 。
（4） 會將具有退化核： 的弗雷德霍姆方程化成代數(shù)方程來求解，并會討論該積分方程何時有唯一解、有無窮解或無解。

?????? 第二部分 特殊函數(shù)（20%）

1 .（1）知道勒讓德（Legendre）多項式的定義，熟悉 、 、 、 的具體表達式，熟悉羅德利克（Rodrigues）公式，能正確認出勒讓德方程并能熟練地寫出該方程本征（固有）值問題的本征值和本征（固有）函數(shù)系；
(2) 熟知勒讓德多項式的正交性質，會將有關函數(shù)展開成勒讓德多項式的級數(shù)，并知道級數(shù)退化成多項式的條件以及這時函數(shù)展開的特殊方法。
2 .（1）能正確認出貝塞爾（Bessel）方程，熟悉第一類和第二類貝塞爾函數(shù)的定義，會熟練地寫出貝塞爾方程本征（固有）值問題的本征值和本征（固有）函數(shù)系。知道該本征函數(shù)系的帶權正交性質，會將有關函數(shù)展開成貝塞爾函數(shù)系的級數(shù)，熟知模值計算公式。
（2）熟悉第一類貝塞爾函數(shù) 與 之間的關系公式，以及 、 和 之間的關系公式，并且會用這些公式及其變型進行準確的推導與證明。
（3）知道虛宗（變形）貝塞爾方程的形式、虛宗貝塞爾函數(shù) 的定義以及與 之間的關系，知道虛宗貝塞爾函數(shù)在求解某些圓柱內(nèi)定解問題中的特殊應用。

???? 第三部分 數(shù)學物理方程的定解問題（48%）

1? 了解三類基本方程（波動方程、熱傳導方程和拉普拉斯方程）的推導方法，認識三類基本
方程的一般形式；了解初始條件和第一、第二和第三類邊界條件所代表的物理意義。
2? 理解二階線性偏微分方程的分類，會將一般二階線性偏微分方程化成標準型。
3? 了解線性疊加原理及其應用。
4? 熟練掌握分離變量法求解數(shù)學物理定解問題的步驟；會用分離變量法求解一維齊次波動方程和熱傳導方程以及二維拉普拉斯方程帶有齊次邊界條件的定解問題。
5? 會用固有（本征）函數(shù)法求解非齊次方程帶有齊次邊界條件的定解問題。
6? 會將定解問題中的非齊次邊界條件齊次化并求解。
7? 掌握本征（固有）值問題、本征值和本征函數(shù)的概念和意義，會求本征值問題的解（包括勒讓德方程和貝塞爾方程的本征值問題）。
8 ?會求含有貝塞爾函數(shù)和勒讓德多項式的定解問題。
9? 了解行波法和積分變換法求解定解問題的思想；會用達朗貝爾（D’Alembert）公式求解一維無界波動問題。
10? 了解格林（Green）函數(shù)法求解定解問題的思想和意義；熟悉幾種特殊區(qū)域狄利克雷（Dirichlet）問題格林函數(shù)的求法；會用格林函數(shù)表示定解問題的解。

?? 二、